[N 1问题]的搜索结果

...装饰物亮度匹配的实际问题中，快速傅里叶变换（FFT）展现出了其强大的优化能力。通过巧妙地将问题转化为求解序列卷积的最大值，我们可以借助FFT技术将原本可能需要O(n^2)时间复杂度的运算降低至O(nlogn)，从而高效找到最优解。实际上，FFT的应用远不止于此，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域都有着广泛而深入的应用。 近日，在科学计算领域，《自然》杂志报道了一项利用FFT算法优化能源传输网络的研究成果。科研团队成功运用FFT分析了电网中各个节点间的电力波动情况，通过对大量实时数据进行快速卷积计算，精准预测并优化了电能分配策略，极大地提高了能源传输效率和稳定性，这再次验证了FFT在实际工程问题中的强大作用。 此外，深度学习领域的研究者也在探索如何结合FFT与卷积神经网络（CNN），以提升模型训练速度和推理效率。一项发表于《IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems》的论文中，研究人员创新性地提出了一种基于FFT的卷积操作方法，可以显著减少CNN中的计算量，尤其在处理大规模图像识别任务时效果尤为明显。 总的来说，从日常生活中的情侣手环亮度调整问题到关乎国计民生的能源传输优化，再到前沿的人工智能技术突破，快速傅里叶变换始终以其独特的数学魅力和高效的计算性能发挥着关键作用。随着科学技术的发展，我们有理由相信FFT将在更多领域带来革命性的解决方案。

...学中，二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。它的基本思想是将数组分为大致相等的两半，通过比较中间元素与目标值来决定是在左半部分还是右半部分继续查找，不断缩小搜索范围，直到找到目标值或确定目标值不存在于数组中。在这篇文章的上下文中，二分查找用于快速统计数组A中小于给定B i 的元素个数以及数组C中大于给定B i 的元素个数。 动态规划 , 动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种求解最优化问题的算法策略，通过把原问题分解为相互重叠的子问题，并保留这些子问题的解以避免重复计算，从而有效地求出原问题的最优解。在文章提及的递增三元组问题中，虽然未直接使用动态规划，但在处理更复杂变种时，可能需要运用动态规划思想，如计算满足特定递增条件的序列组合数量。 前缀和数组 , 前缀和数组（Prefix Sum Array）是将一个数组中的每个元素与其前面所有元素之和保存在一个新数组中，使得可以通过查询前缀和数组的某个索引值快速获取原数组到该索引位置的所有元素之和。在解决某些区间查询、滑动窗口等问题时，前缀和可以简化问题并提高效率。虽然文章中并未明确提到前缀和数组的应用，但在实际解决类似递增三元组问题时，如果采用合适的数据结构和方法，前缀和可能是优化计算的有效工具。 大规模数据处理 , 大规模数据处理是指对大量（通常超过传统数据库或单机系统处理能力）的数据进行收集、存储、管理和分析的过程。在本文所描述的编程问题中，由于数组长度N最大可达到100000，因此要求解决方案具备有效处理大规模数据的能力，确保在限定的内存消耗（< 256MB）和CPU消耗（< 1000ms）内得出正确答案。这就涉及到如何设计高效算法以及合理利用数据结构，如排序、二分查找等技术手段，以适应大规模数据的挑战。

...//blog.csdn.net/qq_52139055/article/details/123284091。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。 A: 颜色叠加 题目描述 热爱科学的Kimi这段时间在研究各种颜色，今天他打算做一个关于颜色叠加的小实验。 Kimi有很多张蓝色和黄色的长方形透明塑料卡片。众所周知，如果把蓝色和黄色混合在一起就会变成绿色。因此，Kimi对着光观察蓝色透明卡片和黄色透明卡片的叠加部分也就可以看到绿色啦。 假设在一个二维平面中，一张蓝色的透明卡片和一张黄色的透明卡片都与坐标轴平行放置，即卡片的横边与X轴平行，竖边与Y轴平行。 现在给出一张蓝色卡片和一张黄色卡片的左上角坐标（均为整数）以及两张卡片的长和宽（均为正整数）。 【注意：此处定义与X轴平行的那组边为长边，与Y轴平行的那组边为宽边】 请编写一个程序计算这两张卡片叠加后所形成的绿色区域的面积。 输入 单组输入。 第1行输入四个整数，分别表示蓝色长方形透明卡片的左上角坐标（X坐标和Y坐标）、长和宽。两两之间用英文空格隔开。 第2行输入四个整数，分别表示黄色长方形透明卡片的左上角坐标（X坐标和Y坐标）、长和宽。两两之间用英文空格隔开。 两张长方形透明卡片的X坐标和Y坐标的取值范围为[-1000, 1000]，长和宽的取值范围为[1,200]。 输出 输出一个非负整数，表示两张卡片叠加后所形成的绿色区域的面积。 思维题 画个图自己推公式就行，我这不是最简做法 给出下图，可以参考我的做法 include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){int x,y,xx,yy,a,b,aa,bb;int i,j;scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&a,&b);scanf("%d%d%d%d",&xx,&yy,&aa,&bb);int dx=abs(x-xx);int dy=abs(y-yy);if(x<=xx){i=min(aa,a-dx);}else i=min(a,aa-dx);if(y>=yy){j=min(bb,b-dy);}else j=min(b,bb-dy);if(i<=0||j<=0)puts("0");else printf("%d\n",ij);return 0;} B: 勤劳的老杨 题目描述 勤劳的老杨最近收到了一个任务清单，在这个清单上有N项不同的工作任务。对于每一项任务都给出了两个时间[X, Y]，其中X表示任务的起始时间（任务从第X天开始，包含第X天），Y表示任务的结束时间（任务到第Y天结束，包含第Y天）。 认真的老杨对待每一项任务都是一心一意的。一旦他决定做某一项任务，在该任务没有完成之前他不会同时再做另一项任务，也就是说在任意时刻老杨手头最多只有一项任务。 假设完成每一项任务所获得的报酬都是相等的。那么，老杨应该如何来安排自己的时间才可以得到最多的报酬呢？ 请你编写一个程序帮老杨计算出他最多可以完成的任务数量。保证至少能完成一项任务。 输入 单组输入。 第1行输入一个正整数N表示任务清单上任务的总数。（N<=1000） 第2行到第N行每一行包含两个正整数，分别表示每一项任务的开始时间和结束时间，两个正整数之间用空格隔开。 输出 输出老杨最多可以完成的任务数量。 贪心 include<bits/stdc++.h>using namespace std;struct node{int a;int b;}ans[1005];bool cmp(const node q,const node p){return q.b<p.b;}int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>ans[i].a;cin>>ans[i].b;}sort(ans,ans+n,cmp);//按结束时间从小到大大排序int cou=0;int end=-1;for(int i=0;i<n;i++)if(ans[i].a>end){//注意时间不能重叠cou++;end=ans[i].b;}cout<<cou<<endl;return 0;} C: 秘密大厦的访客 题目描述 Kimi最近在负责一栋秘密大厦的安保工作，他的工作是记录大厦的来访者情况。 每个来访者都有一个与之对应的唯一编号，在每一条到访记录中记录了该来访者的编号。 现在Kimi需要统计每一条记录中的来访者是第几次光临秘密大厦。 输入 单组输入，每组两行。 第1行包含一个正整数n，表示记录的条数，n不超过1000； 第2行包含n个正整数，依次表示Kimi的记录中每位来访者的编号，两两之间用空格隔开。 输出 输出1行，包含n个正整数，两两之间用空格隔开，依次表示每条记录中的来访者编号是第几次出现。 签到题 直接模拟，做法很多 include<bits/stdc++.h>using namespace std;define ll long longint main(){int n,m;scanf("%d",&n);map<int,int>mp;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&m);mp[m]++;printf("%d%c",mp[m],i==n ? '\n':' ');}return 0;} D: 最大能量 题目描述 一年一度的宇宙超级运动会在宇宙奥特英雄体育场隆重举行。X星人为这场运动会准备了很长时间，他大显身手的时刻终于到了！ 为了保持良好的竞技状态和充沛的体能，X星人准备了N种不同的能量包。 虽然每种能量包都有无限个，但是因为同一种能量包使用太多会带来副作用，因此同样的能量包不能同时使用超过两个，也就是说最多同时可以使用两个相同的能量包。 每种能量包都有一个重量值和能量值。由于这些能量包的特殊性，必须要完整地使用一个能量包才能够发挥功效，否则将失去对应的能量值。 考虑到竞赛的公平性，竞赛组委会规定每个人赛前补充的能量包的总重量不能超过W。 现在需要你编写一个程序计算出X星人能够拥有的最大能量值是多少？ 输入 单组输入。 第1行包含两个正整数N和W，其中N<=10^ 3，W<=10^ 3。 第2行到第N+1行，每一行包含两个正整数，分别表示每一种能量包的重量和能量值，两个正整数之间用空格隔开。每一种能量包的重量和能量值都是小于等于100的正整数。 输出 输出X星人能够拥有的最大能量值。 背包 可以看成每个物品个数为2的多重背包，用多重背包的方法做；也可以看成总共有2n个物品，用一般背包的方法做 //方法1include <bits/stdc++.h>using namespace std;int c[1005],w[1005];//重量 能量int f[10005];int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=c[i];--j){for(int k=1;k<=2&&kc[i]<=j;k++){f[j]=max(f[j],f[j-c[i]k]+w[i]k);} }cout<<f[m]<<endl;return 0;}//方法2include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=1e3+5;int a[2N],b[2N],dp[N],n,m;int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i]>>b[i];a[i+n]=a[i],b[i+n]=b[i];}for(int i=1;i<=2n;i++){for(int j=m;j>=a[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);} }cout<<dp[m]<<'\n';return 0;} E: 最大素数 题目描述 输入一个数字字符串，从中删除若干个（包含0个）数字后可以得到一个素数，请编写一个程序求解删除部分数字之后能够得到的最大素数。 例如，输入“1234”，删除1和4，可以得到的最大素数为23。 输入 输入一个数字字符串，从中删除若干个（包含0个）数字后可以得到一个素数，请编写一个程序求解删除部分数字之后能够得到的最大素数。 例如，输入“1234”，删除1和4，可以得到的最大素数为23。 输出 输入一个数字字符串，从中删除若干个（包含0个）数字后可以得到一个素数，请编写一个程序求解删除部分数字之后能够得到的最大素数。 例如，输入“1234”，删除1和4，可以得到的最大素数为23。 搜索 这里用的bfs，优先搜索当前最大的数，如果这个数已经是素数那么就是答案 我说不清楚，参考代码吧 include <bits/stdc++.h>using namespace std;bool isprime(int n){//素数判断if(n<2)return 0;for(int i=2;i<=(int)sqrt(n);++i)if(n%i==0)return 0;return 1;}struct node {string s;int len;bool operator<(const node &q)const{if(len!=q.len)return len<q.len;return s<q.s;} };bool check(string str){int m=0;for(int i=0;i<str.size();i++){m=m10+str[i]-'0';}return isprime(m);}bool flag;map<string,bool>vis;string s;void bfs(){priority_queue<node>q;q.push({s,s.size()});while(!q.empty()){node k=q.top();q.pop();if(vis[k.s])continue;vis[k.s]=1;if(check(k.s)){cout<<k.s<<endl;flag=1;return ;}for(int i=0;i<k.s.size();i++){//去掉第i个字符string s1=k.s.substr(0,i)+k.s.substr(i+1);q.push({s1,s1.size()});} }}int main(){cin>>s;bfs();if(!flag)puts("No result.");return 0;} F: 最大计分 题目描述 小米和小花在玩一个删除数字的游戏。 游戏规则如下： 首先随机写下N个正整数，然后任选一个数字作为起始点，从起始点开始从左往右每次可以删除一个数字，但是必须满足下一个删除的数字要小于上一个删除的数字。每成功删除一个数字计1分。 请问对于给定的N个正整数，一局游戏过后可以得到的最大计分是多少？ 输入 单组输入。 第1行输入一个正整数N表示数字的个数（N<=10^3）。 第2行输入N个正整数，两两之间用空格隔开。 输出 对于给定的N个正整数，一局游戏过后可以得到的最大计分值。 最长下降子序列 将数组逆转就等价于求最长上升子序列长度 include <bits/stdc++.h>using namespace std;int arr[1005];int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>arr[i];reverse(arr,arr+n);vector<int>stk;stk.push_back(arr[0]);for (int i = 1; i < n; ++i) {if (arr[i] > stk.back())stk.push_back(arr[i]);elselower_bound(stk.begin(), stk.end(), arr[i]) = arr[i];}cout << stk.size() << endl;return 0;} G: 密钥 题目描述 X星人又截获了Y星人的一段密文。 破解这段密文需要使用一个密钥，而这个密钥存在于一个正整数N中。 聪明的X星人终于找到了获取密钥的方法：这个正整数的最后一位是一个非零数K（K>=2），需要将正整数N切分成K个小的整数，并且要使得这K个较小整数的乘积达到最大。而所得到的最大乘积就是破解密文所需的密钥。 你能否帮X星人编写一段程序来得到密钥呢？ 输入 X星人又截获了Y星人的一段密文。 破解这段密文需要使用一个密钥，而这个密钥存在于一个正整数N中。 聪明的X星人终于找到了获取密钥的方法：这个正整数的最后一位是一个非零数K（K>=2），需要将正整数N切分成K个小的整数，并且要使得这K个较小整数的乘积达到最大。而所得到的最大乘积就是破解密文所需的密钥。 你能否帮X星人编写一段程序来得到密钥呢？ 输出 将N划分为K个整数后的最大乘积。 搜索 include <bits/stdc++.h>using namespace std;define ll long longll n;ll ans;void dfs(ll sum,ll m,int res){if(res==1){ans=max(ans,summ);return ;}int num=(int)log10(m)+1;//m的位数int k=10;for(int i=1;i<=num-res+1;i++){//保证剩余的数至少还有res-1位dfs(sum(m%k),m/k,res-1);k=10;}return ;}int main(){cin>>n;dfs(1ll,n,n%10);cout<<ans<<endl;return 0;} H: X星大学 题目描述 X星大学新校区终于建成啦！ 新校区一共有N栋教学楼和办公楼。现在需要用光纤把这N栋连接起来，保证任意两栋楼之间都有一条有线网络通讯链路。 已知任意两栋楼之间的直线距离（单位：千米）。为了降低成本，要求两栋楼之间都用直线光纤连接。 光纤的单位成本C已知（单位：X星币/千米），请问最少需要多少X星币才能保证任意两栋楼之间都有光纤直接或者间接相连？ 注意：如果1号楼和2号楼相连，2号楼和3号楼相连，则1号楼和3号楼间接相连。 输入 单组输入。 第1行输入两个正整数N和C，分别表示楼栋的数量和光纤的单位成本（单位：X星币/千米），N<=100，C<=100。两者之间用英文空格隔开。 接下来N(N-1)/2行，每行包含三个正整数，第1个正整数和第2个正整数表示楼栋的编号（从1开始一直到N），编号小的在前，编号大的在后，第3个正整数为两栋楼之间的直线距离（单位：千米）。 输出 输出最少需要多少X星币才能保证任意两栋楼之间都有光纤直接或者间接相连。 最小生成树模板题 //prim（）最小生成树include <bits/stdc++.h>using namespace std;define ll long longdefine INF 0x3f3f3f3fint n,c;int dist[105];bool vis[105];int a[105][105];ll prim(int pos){memset(dist,INF,sizeof(dist));dist[pos]=0;ll sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){int cur=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&(cur==-1||dist[j]<dist[cur]))cur=j;}if(dist[cur]>=INF)return INF;sum+=dist[cur];vis[cur]=1;for(int l=1;l<=n;l++)if(!vis[l])dist[l]=min(dist[l],a[cur][l]);}return sum;}int main() {scanf("%d%d",&n,&c);int x,y,z;memset(a,INF,sizeof(a));for(int i=1;i<=n;i++)a[i][i]=0;for(int i=1;i<=n(n-1)/2;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);a[x][y]=min(a[x][y],z);a[y][x]=a[x][y];}printf("%lld\n",prim(1)c);return 0;}//Kruskal（）最小生成树include<bits/stdc++.h>using namespace std;struct node {int x,y,z;}edge[10005];bool cmp(node a,node b) {return a.z < b.z;}int fa[105];int n,m,c;long long sum;int get(int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = get(fa[x]);}int main() {scanf("%d%d",&n,&c);m=n(n-1)/2;for(int i = 1; i <= m; i ++) {scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);}for(int i = 0; i <= n; i ++) {fa[i] = i;}sort(edge + 1,edge + 1 + m,cmp);// 每次加入一条最短的边for(int i = 1; i <= m; i ++) {int x = get(edge[i].x);int y = get(edge[i].y);if(x == y) continue;fa[y] = x;sum += edge[i].z;}printf("%lld\n",sumc);return 0;} 本篇文章为转载内容。原文链接：https://blog.csdn.net/qq_52139055/article/details/123284091。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。

...//blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/49799405。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。 D(x)=E{[x−E(x)]2} ：相对于平均数差距的平方的期望； 数理统计一词的理解：mathematical stats，也即用数学的观点审视统计，为什么没有数理概率，因为概率本身即为数学，而对于统计，random variable 的性质并不全然了解，所以数理统计在一些书里又被称作：stats in inference（统计推论，已知 ⇒ 未知） 概率与统计的中心问题，都是random variable， PMF与PDF PMF：probability mass function，概率质量函数，是离散型随机变量在各特定取值上的概率。与概率密度函数（PDF：probability density function）的不同之处在于：概率质量函数是对离散型随机变量定义的，本身代表该值的概率；概率密度函数是针对连续型随机变量定义的，本身不是概率（连续型随机变量单点测度为0），只有在对连续随机变量的pdf在某一给定的区间内进行积分才是概率。 notation 假设X 是一个定义在可数样本空间S 上的离散型随机变量S⊆R ，则其概率质量函数PMF为： fX(x)={Pr(X=x),0,x∈Sx∈R∖S 注意这在所有实数上，包括那些X 不可能等于的实数值上，都定义了pmf，只不过在这些X 不可能取的实数值上，fX(x) 取值为0(x∈R∖S,Pr(X=x)=0 )。 离散型随机变量概率质量函数（pmf）的不连续性决定了其累积分布函数（cdf）也不连续。 共轭先验（conjugate prior） 所谓共轭（conjugate），描述刻画的是两者之间的关系，单独的事物不构成共轭，举个通俗的例子，兄弟这一概念，只能是两者才能构成兄弟。所以，我们讲这两个人是兄弟关系，A是B的兄弟，这两个分布成共轭分布关系，A是B的共轭分布。 p(θ|X)=p(θ)p(X|θ)p(x) p(X|θ) ：似然（likelihood） p(θ) ：先验（prior） p(X) ：归一化常数（normalizing constant） 我们定义：如果先验分布（p(θ) ）和似然函数（p(X|θ) ）可以使得先验分布（p(θ) ）和后验分布（p(θ|X) ）有相同的形式（如，Beta(a+k, b+n-k)=Beta(a, b)binom(n, k)），那么就称先验分布与似然函数是共轭的（成Beta分布与二项分布是共轭的）。 几个常见的先验分布与其共轭分布 先验分布 共轭分布 伯努利分布 beta distribution Multinomial Dirichlet Distribution Gaussian, Given variance, mean unknown Gaussian Distribution Gaussian, Given mean, variance unknown Gamma Distribution Gaussian, both mean and variance unknown Gaussian-Gamma Distribution 最大似然估计（MLE） 首先来看，大名鼎鼎的贝叶斯公式： p(θ|X)=p(θ)p(X|θ)p(X) 可将θ 看成欲估计的分布的参数，X 表示样本，p(X|θ) 则表示似然。 现给定样本集\mathcal{D}=\{x_1,x_2,\ldots,x_N\}D={x1,x2,…,xN} ，似然函数为： p(\mathcal{D}|\theta)=\prod_{n=1}^Np(x_n|\theta) p(D|θ)=∏n=1Np(xn|θ) 为便于计算，再将其转换为对数似然函数形式： \ln p(\mathcal{D}|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta) lnp(D|θ)=∑n=1Nlnp(xn|θ) 我们不妨以伯努利分布为例，利用最大似然估计的方式计算其分布的参数（pp ），伯努利分布其概率密度函数（pdf）为： f_X(x)=p^x(1-p)^{1-x}=\left \{ \begin{array}{ll} p,&\mathrm{x=1},\\ q\equiv1-p ,&\mathrm{x=0},\\ 0,&\mathrm{otherwise} \end{array} \right. fX(x)=px(1−p)1−x=⎧⎩⎨⎪⎪p,q≡1−p,0,x=1,x=0,otherwise 整个样本集的对数似然函数为： \ln p(\mathcal{D}|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln (\theta^{x_n}(1-\theta)^{1-x_n})=\sum_{n=1}^Nx_n\ln\theta+(1-x_n)\ln(1-\theta) lnp(D|θ)=∑n=1Nlnp(xn|θ)=∑n=1Nln(θxn(1−θ)1−xn)=∑n=1Nxnlnθ+(1−xn)ln(1−θ) 等式两边对\thetaθ 求导： \frac{\partial \ln(\mathcal{D}|\theta)}{\partial \theta}=\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{\theta}-\frac{N}{1-\theta}+\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{1-\theta} ∂ln(D|θ)∂θ=∑Nn=1xnθ−N1−θ+∑Nn=1xn1−θ 令其为0，得： θml=∑Nn=1xnN Beta分布 f(μ|a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa−1(1−μ)b−1=1B(a,b)μa−1(1−μ)b−1 Beta 分布的峰值在a−1b+a−2 处取得。其中Γ(x)≡∫∞0ux−1e−udu 有如下性质： Γ(x+1)=xΓ(x)Γ(1)=1andΓ(n+1)=n! 我们来看当先验分布为 Beta 分布时的后验分布： p(θ)=1B(a,b)θa−1(1−θ)b−1p(X|θ)=(nk)θk(1−θ)n−kp(θ|X)=1B(a+k,b+n−k)θa+k−1(1−θ)b+n−k−1 对应于python中的math.gamma()及matlab中的gamma()函数（matlab中beta(a, b)=gamma(a)gamma(b)/gamma(a+b)）。 条件概率（conditional probability） P(X|Y) 读作： P of X given Y ，下划线读作given X ：所关心事件 Y ：条件（观察到的，已发生的事件），conditional 条件概率的计算 仍然从样本空间（sample space）的角度出发。此时我们需要定义新的样本空间（给定条件之下的样本空间）。所以，所谓条件（conditional），本质是对样本空间的进一步收缩，或者叫求其子空间。 比如一个人答题，有A,B,C,D 四个选项，在答题者对题目一无所知的情况下，他答对的概率自然就是 14 ，而是如果具备一定的知识，排除了 A,C 两个错误选项，此时他答对的概率简单计算就增加到了 12 。 本质是样本空间从S={A,B,C,D} ，变为了S′={B,D} 。 新样本空间下P(A|排除A/C)=0,P(C|排除A/C)=0 ，归纳出来，也即某实验结果（outcome，oi ）与某条件Y 不相交，则： P(oi|Y)=0 最后我们得到条件概率的计算公式： P(oi|Y)=P(oi)P(o1)+P(o2)+⋯+P(on)=P(oi)P(Y)Y={o1,o2,…,on} 考虑某事件X={o1,o2,q1,q2} ，已知条件Y={o1,o2,o3} 发生了，则： P(X|Y)=P(o1|Y)+P(o2|Y)+0+0=P(o1)P(Y)+P(o2)P(Y)=P(X∩Y)P(Y) 条件概率与贝叶斯公式 条件概率： P(X|Y)=P(X∩Y)P(Y) 贝叶斯公式： P(X|Y)=P(X)P(Y|X)P(Y) 其实是可从条件概率推导贝叶斯公式的： P(A|B)=P(B|A)=P(A|B)P(B)===P(B|A)=P(A∩B)P(B)P(A∩B)P(A)P(A∩B)P(B)P(B)P(A∩B)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A) 证明：P(B,p|D)=P(B|p,D)P(p|D) P(B,p|D)====P(B,p,D)P(D)P(B|p,D)P(p,D)P(D)P(B|p,D)P(p,D)P(D)P(B|p,D)P(p|D) References [1] 概率质量函数 本篇文章为转载内容。原文链接：https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/49799405。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。

...//blog.csdn.net/hjhfreshman/article/details/88864894。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。 旧版rem布局 《手机端页面自适应解决方案—rem布局》， 此方案仅适用于移动端web 文章底部常见问题说明第四条，笔者已给出一个相当便捷的解决方案，欢迎留言交流。（2017/9/9） 该方案使用相当简单，把下面这段已压缩过的 原生JS（仅1kb，源码已在文章底部更新，2017/5/3） 放到 HTML 的 head 标签中即可（注:不要手动设置viewport，该方案自动帮你设置） <script>!function(e){function t(a){if(i[a])return i[a].exports;var n=i[a]={exports:{},id:a,loaded:!1};return e[a].call(n.exports,n,n.exports,t),n.loaded=!0,n.exports}var i={};return t.m=e,t.c=i,t.p="",t(0)}([function(e,t){"use strict";Object.defineProperty(t,"__esModule",{value:!0});var i=window;t["default"]=i.flex=function(normal,e,t){var a=e||100,n=t||1,r=i.document,o=navigator.userAgent,d=o.match(/Android[\S\s]+AppleWebkit\/(\d{3})/i),l=o.match(/U3\/((\d+|\.){5,})/i),c=l&&parseInt(l[1].split(".").join(""),10)>=80,p=navigator.appVersion.match(/(iphone|ipad|ipod)/gi),s=i.devicePixelRatio||1;p||d&&d[1]>534||c||(s=1);var u=normal?1:1/s,m=r.querySelector('meta[name="viewport"]');m||(m=r.createElement("meta"),m.setAttribute("name","viewport"),r.head.appendChild(m)),m.setAttribute("content","width=device-width,user-scalable=no,initial-scale="+u+",maximum-scale="+u+",minimum-scale="+u),r.documentElement.style.fontSize=normal?"50px": a/2sn+"px"},e.exports=t["default"]}]); flex(false,100, 1);</script> 代码原理 这是阿里团队的高清方案布局代码，所谓高清方案就是利用rem的特性（我们知道默认情况下html的1rem = 16px），根据设备屏幕的DPR（设备像素比，又称DPPX，比如dpr=2时，表示1个CSS像素由4个物理像素点组成）根据设备DPR动态设置 html 的font-size为（50 dpr)，同时调整页面的压缩比率（即：1/dpr），进而达到高清效果。 有何优势 引用简单，布局简便 根据设备屏幕的DPR,自动设置最合适的高清缩放。 保证了不同设备下视觉体验的一致性。（老方案是，屏幕越大元素越大；此方案是，屏幕越大，看的越多） 有效解决移动端真实1px问题（这里的1px 是设备屏幕上的物理像素） 如何使用 重要的事情说三遍！ 绝不是每个地方都要用rem，rem只适用于固定尺寸！ 绝不是每个地方都要用rem，rem只适用于固定尺寸！ 绝不是每个地方都要用rem，rem只适用于固定尺寸！ 在相当数量的布局情境中（比如底部导航元素平分屏幕宽，大尺寸元素），你必须使用百分比或者flex才能完美布局！ 看过 《手机端页面自适应解决方案—rem布局》的朋友，应该对rem有所了解，这里不再赘述， 此方案也是默认 1rem = 100px，所以你布局的时候，完全可以按照设计师给你的效果图写各种尺寸啦。 比如你在效果图上量取的某个按钮元素长 55px, 宽37px ，那你直接可以这样写样式： .myBtn {width: 0.55rem;height: 0.37rem;} rem布局（进阶版）实践应用 iPhone5 下页面效果.png iPhone 6 Plus 下页面效果.png 为了让朋友们更清晰感受此方案的巨大优势，下面是源码和Demo 实践应用1（请在手机端或者手机模式下浏览效果更佳！） 实践应用2（请在手机端或者手机模式下浏览效果更佳！） 线上项目（请在手机端或者手机模式下浏览效果更佳！） 示例源码 在线Demo 常见问题说明，新手很有必要看一下（2017/1/19） 许多同学对该方案存在不少误解导致使用出现各种问题，这里统一回复下。 1.问：为啥手机网页效果图宽度是要640或者750的，我非得弄个666的不行咩？ 答：老实说当然可以，不过为了规范，640或者750是相对合适的。 拿Iphone 5s 举例，它的css像素宽度是320px，由于它的dpr=2，所以它的物理像素宽度为320 × 2 = 640px，这也就是为什么，你在5s上截了一张图，在电脑上打开，它的原始宽度是640px的原因。 那 iphone 6 的截图宽度呢？ 375 × 2 = 750 那 iphone 6 sp 的截图宽度呢？ 414 × 3 = 1242 以此类推，你现在能明白效果图为什么一般是 640 ，750 甚至是 1242 的原因了么？（真没有歧视安卓机的意思。。。） 2.问：宽度用rem写的情况下， 在 iphone6 上没问题， 在 iphone5上会有横向滚动条，何解？ 答：假设你的效果图宽度是750，在这个效果图上可能有一个宽度为7rem（高清方案默认 1rem = 100px）的元素。我们知道，高清方案的特点就是几乎完美还原效果图，也就是说，你写了一个宽度为 7rem 的元素，那么在目前主流移动设备上都是7rem。然而，iphone 5 的宽度为640，也就是6.4rem。于是横向滚动条不可避免的出现了。 怎么办呢？ 这是我目前推荐的比较安全的方式：如果元素的宽度超过效果图宽度的一半（效果图宽为640或750），果断使用百分比宽度，或者flex布局。就像把等屏宽的图片宽度设为100%一样。 3.问：不是 1rem = 100px吗，为什么我的代码写了一个宽度为3rem的元素，在电脑端的谷歌浏览器上宽度只有150px? 答：先说高清方案代码，再次强调咱们的高清方案代码是根据设备的dpr动态设置html 的 font-size， 如果dpr=1(如电脑端），则html的font-size为50px，此时 1rem = 50px 如果dpr=2(如iphone 5 和 6），则html的font-size为100px，此时 1rem = 100px 如果dpr=3(如iphone 6 sp），则html的font-size为150px，此时 1rem = 150px 如果dpr为其他值，即便不是整数，如3.4 , 也是一样直接将dpr 乘以 50 。 再来说说效果图，一般来讲，我们的效果图宽度要么是640，要么是750，无论哪一个，它们对应设备的dpr=2，此时，1 rem = 50 × 2 = 100px。这也就是为什么高清方案默认1rem = 100px。而将1rem默认100px也是好处多多，可以帮你快速换算单位，比如在750宽度下的效果图，某元素宽度为53px，那么css宽度直接设为53/100=0.53rem了。 然而极少情况下，有设计师将效果图宽定为1242px，因为他手里只有一个iphone 6 sp (dpr = 3)，设计完效果图刚好可以在他的iphone 6 sp里查看调整。一切完毕之后，他将这个效果图交给你来切图。由于这个效果图对应设备的dpr=3，也就是1rem = 50 × 3 = 150px。所以如果你量取了一个宽度为90px的元素，它的css宽度应该为 90/150=0.6rem。由于咱们的高清方案默认1rem=100px，为了还原效果图，你需要这样换算。当然，一个技巧就是你可以直接修改咱们的高清方案的默认设置。在代码的最后 你会看到 flex(false, 100, 1) ，将其修改成flex(false, 66.66667, 1)（感谢简友：V旅行指出此处错误！ 2017/3/24）就不用那么麻烦的换算了，此时那个90px的直接写成0.9rem就可以了。 4.问：在此方案下，我如果引用了别的UI库，那些UI库的元素会显得特别小，如何解决？ 答：可以这样去理解问题的原因，如果不用高清方案，别的UI库的元素在移动设备上（假设这个设备是iphone 5好了）显示是正常的，这没有问题，然后我们在这个设备上将该页面截图放到电脑上看，发现宽度是640（问答1解释过了），根据你的像素眼大致测量，你发现这个设备上的某个字体大小应该是12px，而你在电脑上测量应该是24px。 现在我们使用高清方案去还原这个页面，那么字体大小应该写为 0.24rem 才对！ 所以，如果你引用了其他的UI库，为了兼容高清方案，你需要对该UI库里凡是应用px的地方做相应处理，即： a px => a0.02 rem (具体处理方式因人而异，有模块化开发经验的同学可使用类似的 px2rem 的插件去转化，也可以完全手动处理） （2017/9/9更新）然而真实情况往往更为复杂，比如，你引入了百度地图（N个样式需要处理转换）；或者你引入了一个 framework；又或者你使用了 video 标签，上面默认的尺寸样式很难处理。等等这些棘手问题 面对这些情况，此时我们的高清方案如果不再压缩页面，那么以上问题将迎刃而解。 基于这样的思路，笔者对高清方案的源码做了如下修改，即添加一个叫做 normal 的参数，由它来控制页面是否压缩。 在文章顶部代码的最后，你会看到 flex(false, 100, 1)，默认情况下页面是开启压缩的。 如果你需要禁止压缩，由于我们的源码执行后，直接将flex函数挂载到全局变量window上了，此时你直接在需要禁止压缩的页面执行 window.flex(true) 就可以了，而rem的用法保持不变。 有一点美中不足的是，如果禁止了页面压缩，高清屏的1像素就不能实现了，如果你必须要实现1像素，那么自行谷歌：css 0.5像素，有N多的解决方案，这里不再赘述。 5.问：有时候字体会不受控制的变大，怎么办？ 答：在X5新内核Blink中，在排版页面的时候，会主动对字体进行放大，会检测页面中的主字体，当某一块字体在我们的判定规则中，认为字号较小，并且是页面中的主要字体，就会采取主动放大的操作。然而这不是我们想要的，可以采取给最大高度解决 解决方案： , :before, :after { max-height: 100000px } 补充：有同学反映，在一些情况下 textarea 标签内的字体大小即便加上上面的方案，字体也会变大，无法控制。此时你需要给 textarea 的 display 设为 table 或者 inline-table 即可恢复正常。（感谢 程序媛喵喵 对此的补充！2017/7/7） 6.问：我在底部导航用的flex感觉更合适一些，请问这样子混着用可以吗？ 答：咱们的rem适合写固定尺寸。其余的根据需要换成flex或者百分比。源码示例中就有这三种的综合运用。 7.问：在高清方案下，一个标准的，较为理想的宽度为640的页面效果图应该是怎样的？ 点击浏览：一个标准的640手机页面设计稿参考（没错，在此方案中，你可以完全按照这张设计稿的尺寸写布局了。就是这么简单！） 8.问：用了这个方案如何使用媒体查询呢？ 一般来讲，使用了这个方案是没必要用媒体查询了，如果你必须要用，假设你要对 iphone5 （css像素宽度320px, 这里需要取其物理像素，也就是640）宽度下的类名做处理，你可以这样 @media screen and (max-width: 640px) {.yourLayout {width:100%;} } 9.问：可以提供下这个高清方案的源码吗？ 'use strict';/ @param {Boolean} [normal = false] - 默认开启页面压缩以使页面高清; @param {Number} [baseFontSize = 100] - 基础fontSize, 默认100px; @param {Number} [fontscale = 1] - 有的业务希望能放大一定比例的字体;/const win = window;export default win.flex = (normal, baseFontSize, fontscale) => {const _baseFontSize = baseFontSize || 100;const _fontscale = fontscale || 1;const doc = win.document;const ua = navigator.userAgent;const matches = ua.match(/Android[\S\s]+AppleWebkit\/(\d{3})/i);const UCversion = ua.match(/U3\/((\d+|\.){5,})/i);const isUCHd = UCversion && parseInt(UCversion[1].split('.').join(''), 10) >= 80;const isIos = navigator.appVersion.match(/(iphone|ipad|ipod)/gi);let dpr = win.devicePixelRatio || 1;if (!isIos && !(matches && matches[1] > 534) && !isUCHd) {// 如果非iOS, 非Android4.3以上, 非UC内核, 就不执行高清, dpr设为1;dpr = 1;}const scale = normal ? 1 : 1 / dpr;let metaEl = doc.querySelector('meta[name="viewport"]');if (!metaEl) {metaEl = doc.createElement('meta');metaEl.setAttribute('name', 'viewport');doc.head.appendChild(metaEl);}metaEl.setAttribute('content', width=device-width,user-scalable=no,initial-scale=${scale},maximum-scale=${scale},minimum-scale=${scale});doc.documentElement.style.fontSize = normal ? '50px' : ${_baseFontSize / 2 dpr _fontscale}px;}; 10.问：我在使用 rem 布局进阶方案的时候遇到了XXX的问题，如何解决？ 此方案久经考验，具有普遍适用性，自身出致命问题的情况很少，至少笔者是没遇到过。 绝大多数你遇到的问题，都是由于对rem布局理解不到位导致的。本文对rem布局做了大量的解释说明，配置了若干 demo，你可以把你遇到的问题放到demo里测试。遇到问题时，首先问自己，为什么这明显的错误大家没遇到就我遇到了？？ 如果你真的经过充分验证，比对，确实是rem布局自身出了问题，那么请私信我，把还原问题场景的 demo 或者文件发给我。谢谢！ 本篇文章为转载内容。原文链接：https://blog.csdn.net/hjhfreshman/article/details/88864894。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。

...深入探讨了Python中面向对象方式实现斐波那契数列算法之后，我们还可以进一步探究其在实际应用中的价值与拓展。近日，美国《数学与计算科学》杂志发表了一篇关于优化递归算法以提高斐波那契数列计算效率的研究论文，其中提到了如何利用动态规划、矩阵快速幂等方法改进Python代码，从而有效降低大规模斐波那契数列计算的复杂度。 此外，斐波那契数列在现代密码学、金融分析、计算机图形学等领域具有广泛应用。例如，在区块链技术中，斐波那契散列时间锁协议（FHTLP）就巧妙运用了斐波那契数列特性，为加密货币交易提供了更高级别的安全性和时间锁定功能。而在量化投资策略设计中，斐波那契扩展和回调水平常被用来寻找潜在的支撑位和阻力位。 同时，斐波那契数列也是普及编程教育的重要工具之一，许多在线编程课程和教材通过引导学生亲手实现不同版本的斐波那契数列生成器，帮助他们理解递归、迭代、动态规划等核心编程概念，并借此锻炼问题分解与抽象思维能力。 总之，从基础算法实现到前沿科技应用，斐波那契数列都展现了其深远而广泛的影响力。对于热衷于算法研究和技术探索的开发者而言，不断挖掘这一经典数列背后的数学之美及其在现代科技中的独特作用，无疑将对提升自身技术水平产生积极影响。

...M竞赛中树图故障节点问题的高效算法实现之后，我们可以进一步延伸至实际应用与相关领域的最新研究进展。近日，随着物联网(IoT)和大规模分布式系统的发展，网络拓扑结构愈发复杂，其中节点失效分析成为确保系统稳定性和可靠性的关键环节。例如，在云计算数据中心网络中，由于设备老化、环境变化等原因，可能产生类似于文中所述的“故障链”现象，而快速定位故障节点并进行有效隔离，对于减少服务中断时间和提升服务质量至关重要。 一项发表于《计算机网络》(Computer Networks)期刊的研究中，科研团队就提出了一种基于改进的LCA算法优化大规模网络中故障检测与定位的方法，利用层次化数据结构和动态规划策略，不仅能够显著降低计算复杂性，还能提高故障检测效率。 此外，关于树形结构和图论在现实场景中的应用也引发了学界的广泛关注。比如，在生物信息学领域，基因表达调控网络常被建模为有向加权图，通过研究不同基因之间的调控关系，科学家可以发现潜在的关键调控节点（相当于故障节点），从而揭示疾病的发生机制或制定新的治疗策略。 总之，从ACM竞赛问题出发，故障节点检测算法的实际应用涵盖了众多高科技领域，不断推动着相关理论和技术的发展与创新。随着大数据和人工智能技术的进步，未来对复杂系统中故障节点识别和管理的研究将更加深入且具有时效性。

动态规划（Dynamic Programming） , 动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中常用的优化技术。在本文的语境中，它被应用于解决字符串处理问题，通过构建一个二维数组dp i 3 来记录从前i个字符中选取字符，使得其各位数字之和模3为特定值时所需的最小删除字符数。通过自底向上的递推计算，以及状态转移方程，动态规划可以找到最优解，并确保在解决问题过程中不会重复计算已知结果，从而实现对给定字符串操作的最优化。 模拟法（Simulation） , 模拟法是一种基于模型的求解策略，通常用于描述并预测复杂系统的行为。在本文提及的编程问题中，模拟法是指直接按照题目要求逐步进行操作的过程，通过对字符串中每个字符对应的数字取模3，统计各余数值出现次数，然后根据最终求和结果的模3余数确定需要删除哪些字符以满足题意条件的方法。 前导零（Leading Zero） , 在数字表示或字符串形式的数据中，前导零是指位于最左边、不改变数值大小但可能影响数据表现形式的零。在本文所讨论的问题中，不允许字符串有前导零意味着在进行字符删除操作后，得到的结果字符串不能以零开头，因为这可能会影响人们对数字的理解，特别是在一些编程语言或特定场景下，前导零可能会引起歧义或错误解析。因此，在寻找满足3的倍数条件的同时，也要确保最终答案没有前导零。

...CA（最近公共祖先）问题的两种主流解决算法——倍增法与Tarjan版LCA之后，我们可以进一步关注这一理论在实际应用中的最新进展与相关研究动态。在数据结构和算法领域，LCA问题不仅被广泛应用于信息学竞赛中，还在计算机科学诸多分支，如图论、数据库索引设计、网络路由优化等方面发挥着重要作用。 近年来，随着大数据和人工智能技术的发展，处理大规模图数据的需求日益增强，对LCA问题求解效率的要求也随之提高。例如，在社交网络分析中，寻找两个用户的最近共同好友或社群，实质上就是一种LCA问题的应用；而在基因组学中，比对不同物种间的进化关系时，利用改进的LCA算法能更高效地定位序列的共同祖先节点。 2021年，一项发表在《ACM Transactions on Algorithms》的研究中，科研人员提出了一种基于预处理和动态规划相结合的新型LCA算法，能够在保持较低空间复杂度的同时，进一步提升查询速度，为大规模图数据处理提供了新的解决方案。同时，针对并查集在求解LCA问题上的局限性，也有学者提出了更为精细的设计策略，通过引入路径压缩与按秩合并等优化手段，使得经典Tarjan算法在处理特定类型的数据时，性能得到显著改善。 总之，LCA问题作为基础算法研究的重要组成部分，其理论发展与实践应用的紧密结合，将持续推动信息技术的进步，并在更多新兴领域产生深远影响。不断涌现的创新研究成果，正持续拓宽我们对LCA问题理解的深度和广度，也为未来算法设计与优化指明了方向。

...Association for Computing Machinery, ACM）主办。该竞赛旨在展示并提升大学生在算法分析、问题解决、编程技巧及团队合作等方面的能力。在文章中提到，此类竞赛经常出现与回文串相关的题目，参赛者需灵活运用算法知识来解决实际问题。 DNA序列分析 , 在生物学领域，DNA序列分析是一种研究方法，通过对生物体DNA分子进行测序和比对，了解基因组结构、功能及进化信息等。文中提及，回文结构在DNA序列中扮演着重要角色，往往与基因调控区域相关联，因此理解回文串特性对于遗传学研究具有重要意义。 加密算法 , 在密码学领域，加密算法是一种将明文信息转化为密文以确保信息安全传输和存储的方法。文中虽然没有直接介绍加密算法，但指出特定类型的回文串可以应用于构建加密算法的关键部分，说明回文串在高级密码学应用中具有一定价值。

...了如何使用Python计算棋盘上的麦粒数之后，我们可以进一步了解编程与数学问题的紧密联系，以及指数增长在现实世界中的广泛应用。近期，一项关于全球数据增长的研究报告显示（来源：IDC, 2022），全球数据总量正以惊人的速度增长，其模式类似于我们讨论的麦粒数量在棋盘上按照2的幂次方递增的情形。 实际上，这种指数增长规律不仅体现在数据规模上，还广泛存在于生物学、经济学、金融学等领域。例如，在新冠病毒传播模型中，初期感染人数的增长曲线往往呈现出指数增长态势，这要求科学家和政策制定者能够理解和预测此类增长模式的影响，以便采取有效措施进行干预。 此外，Python因其强大的科学计算和数据分析能力，已成为科研人员解决复杂问题的重要工具。例如，在处理生态学中的种群增长问题时，可以利用Python编写程序模拟不同条件下的种群动态，这些动态系统常常包含有指数增长的环节。 总的来说，通过Python编程解决棋盘麦粒问题是一个引人入胜的数学实例，它生动展示了指数增长的力量，并提醒我们在面对实际生活和工作中类似的快速增长现象时，应具备量化分析和精准预测的能力。对于有兴趣深入学习的读者，推荐阅读《算法导论》等相关书籍，或关注Python在现代科学计算、数据分析方面的最新应用案例及研究成果。同时，结合历史经典如“国王与麦粒的故事”，更能体会古代智慧与现代科技之间的奇妙交汇。

在了解了Python实现的counting sort计数排序算法后，我们可以进一步探讨其在实际应用中的价值与局限性。计数排序由于其对数据范围的依赖特性，在处理整数且数据范围相对较小的情况时表现出优秀的性能，时间复杂度为O(n+k)，其中n为待排序元素个数，k为数据范围大小。这一特性使其在大规模数据预处理和特定领域如数据库索引构建中具有广泛的应用前景。 近期，Google在优化其大数据处理框架Apache Beam的排序组件时，就考虑采用了计数排序等非比较型排序算法以提升系统性能。研究人员发现，通过针对性地分析数据分布特征，并适时引入计数排序算法，可以在不影响稳定性的同时显著减少排序所需的时间成本。 然而，对于浮点数或数据范围极大的情况，计数排序则可能因为需要创建极大空间的计数数组而导致空间效率低下。因此，在实际应用中，往往需要结合其他高效排序算法（如快速排序、归并排序等）进行混合使用，根据实际情况灵活选择最优策略。 此外，深入探究排序算法背后的理论基础也十分有益，例如Knuth在其经典著作《计算机程序设计艺术》中对各种排序算法进行了详尽而深入的解读，其中包括计数排序的设计原理及其在实际问题中的应用场景分析。学习这些理论知识将有助于我们更好地理解并运用计数排序以及其他各类排序算法，从而在面对不同的工程问题时能够做出更为精准有效的决策。

.../tigerisland.blog.csdn.net/article/details/72832637。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。 1013 3的幂的和 基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题 求：3^0 + 3^1 +...+ 3^(N) mod 1000000007 Input 输入一个数N(0 <= N <= 10^9) Output 输出：计算结果 Input示例 3 Output示例 40 问题链接：1013 3的幂的和 问题分析：先将问题转换为等比数列求和，再用快速模幂计算，还需要用一下逆元。 程序说明：（略） 题记：（略） 参考链接：（略） AC的C++程序如下： include <iostream>using namespace std;const int MOD = 1000000007;const int Q = 3;long long inv(long long a){return (a == 1) ? 1 : inv(MOD % a) (MOD - MOD / a) % MOD;}// 快速模幂计算函数int powermod(long long a, int n, int m){long long res = 1;while(n) {if(n & 1) { // n % 2 == 1res = a;res %= m;}a = a;a %= m;n >>= 1;}return res;}int main(){int n;// 等比数列和：Sn=a0(q^(n+1) - 1)/(q - 1)=(q^(n+1) - 1)/(q - 1)// 使用快速模幂运算后，需要求一下逆元，再进行计算while(cin >> n)cout << (powermod(Q, n + 1, MOD) - 1) inv((Q - 1)) % MOD << endl;return 0;} 本篇文章为转载内容。原文链接：https://tigerisland.blog.csdn.net/article/details/72832637。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。

...了如何使用Python创建正负交替数列之后，我们可以进一步探索编程与数学、计算机科学更深层次的结合。近日，一项关于序列生成算法的研究成果引起了业界关注。研究团队开发了一种基于深度学习的自动生成数列模型，该模型不仅能够生成正负交替数列，还能根据特定规则或模式生成更为复杂的数列结构。 例如，在数据压缩领域，有研究人员利用变种的正负交替编码策略优化了哈夫曼编码等算法，有效提高了数据压缩率和解压速度。此外，在高性能计算中，正负交替数列的性质被应用于负载均衡算法设计，以提升大规模并行计算任务的效率和稳定性。 对于初学者来说，理解Python中的迭代器协议和生成器表达式也是扩展数列生成知识的重要途径。通过运用生成器，可以实现更加高效且节省内存的无限数列生成方案，这对于处理大数据集或者进行数学分析具有实际意义。 同时，莫比乌斯函数作为数论中的经典概念，在密码学、图论等领域也有着广泛应用。在最新的科研进展中，就有学者尝试将莫比乌斯函数和其他数学工具结合，利用Python实现了一系列高级算法，用于解决复杂问题如素数分布预测、网络最大流最小割问题等。 总之，Python语言在数列生成上的灵活性及其与数学理论的紧密结合，为各个领域的研究与应用提供了强大支持。从基础的正负交替数列开始，逐步深入到更广泛的编程实践与理论探索，无疑将帮助我们更好地应对各类复杂计算挑战。

...挑战赛中，自然数拆分问题不仅是一项有趣的智力挑战，也与实际的计算机科学和数学研究紧密相连。近期，在ACM国际大学生程序设计竞赛（ACM-ICPC）的一场区域赛上，就出现了一道关于整数拆分优化问题的题目，要求参赛者在限定时间内找出最优的拆分方案，这与全国大学生算法设计与编程挑战赛中的自然数拆分问题有着异曲同工之妙。 深入探究此类问题，其实质是组合数学、图论以及动态规划等理论在实践中的应用。例如，贝尔数B(n,k)可以用来表示将n个不同元素分成k组的不同方式总数，这种理论在解决自然数拆分问题时提供了重要的数学工具。 此外，自然数拆分还与数论领域中的 partitions问题密切相关。在20世纪初，印度数学家拉马努金发展了一系列关于整数分区的恒等式，为后来的研究奠定了基础。现代计算机科学家通过算法优化，如记忆化搜索、回溯法及动态规划等，实现了对大规模自然数高效且精准的拆分计算。 同时，自然数拆分的实际应用也十分广泛，例如在数据压缩、编码理论、资源分配等领域都有所体现。在当前大数据和人工智能技术蓬勃发展的时代背景下，这类算法的设计与优化显得尤为重要。 总之，对于全国大学生算法设计与编程挑战赛中的自然数拆分问题，无论是从学术研究深度还是现实应用场景广度来看，都值得我们进一步探索和学习。不断跟进最新的科研进展，结合经典理论进行实战演练，无疑会提升我们在算法设计与编程领域的综合能力。

...电网场景中，通过Dinic算法的高效实现，实现了对输电线路容量限制以及各节点供电量约束条件下的最优电力分配方案。此外，报道还揭示了该算法在处理大规模数据和实时调度方面的优势，并进一步探讨了其在智能电网未来发展中的潜在作用。 另一方面，国际知名学术期刊《ACM Transactions on Algorithms》近期发布了一篇深度解读论文，作者深入剖析了有源汇上下界最大流问题的理论基础，并在此基础上提出了一种新的求解框架，不仅提高了原有Dinic算法的性能，还在特定条件下解决了最小流问题。这项研究为未来更复杂网络流问题的求解提供了新的理论工具和方法论指导，对于推动相关领域的发展具有深远意义。 总之，无论是从最新的科研进展还是现实世界的工程应用层面，有源汇上下界最大流与最小流算法都在持续展现出其强大的实用性与创新性，为我们理解和解决各类资源优化配置问题提供了强有力的数学工具和解决方案。

...ttps://xuanweiace.blog.csdn.net/article/details/83115964。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。 题干： 给出N个正整数组成的数组A，求能否从中选出若干个，使他们的和为K。如果可以，输出："Yes"，否则输出"No"。 Input 第1行：2个数N, K, N为数组的长度, K为需要判断的和(2 <= N <= 20，1 <= K <= 10^9) 第2 - N + 1行：每行1个数，对应数组的元素Aii (1 <= Aii <= 10^6) Output 如果可以，输出："Yes"，否则输出"No"。 Sample Input 5 13246810 Sample Output No 解题报告： 很多人说这题用背包，，，但是我一直想不通，1e9的空间，是怎么用的背包。。。这题数据量20，显然是搜索啊，，，复杂度o(2^n)不怂，不到30行就搞定了。 如果要写背包的话思路上也是可以的，因为每个背包体积1e6，20个加起来也才2e8，并且dp[j]=val，这里可以保证jval<=j，因为物品的体积和价值是相同的啊。所以直接跑恰好装满问题，并且dp[k]=k就可以了。只要数组开的下，，背包也不难写。 AC代码： include<bits/stdc++.h>define ll long longusing namespace std;ll n,k;ll a[55];bool dfs(ll step,ll cur) {if(cur == k) return 1;if(step == n) return 0;if(cur+a[step+1] <= k) {if(dfs(step+1,cur+a[step+1])) return 1;}if(dfs(step+1,cur)) return 1;return 0;}int main(){cin>>n>>k;for(int i = 1; i<=n; i++) cin>>a[i];sort(a+1,a+n+1); if(dfs(0,0)) puts("Yes");else puts("No");return 0 ;} 总结：搜索题一定要注意啊，需要从(0,0)这个状态开始搜索，因为你直接(1,a[1])传入参数了，那 不选第一个数 这个状态就被没有搜啊。。。 本篇文章为转载内容。原文链接：https://xuanweiace.blog.csdn.net/article/details/83115964。 该文由互联网用户投稿提供，文中观点代表作者本人意见，并不代表本站的立场。 作为信息平台，本站仅提供文章转载服务，并不拥有其所有权，也不对文章内容的真实性、准确性和合法性承担责任。 如发现本文存在侵权、违法、违规或事实不符的情况，请及时联系我们，我们将第一时间进行核实并删除相应内容。

...并解决Rack MiniProfiler可能遇到的问题后，我们还可以关注更多关于性能分析工具的最新进展与实践。近期，Ruby社区中一款名为“Bullet”的Gem引起了广泛关注，它专门针对Rails应用中的N+1查询问题进行实时检测和优化建议。Bullet能够动态追踪ActiveRecord查询，帮助开发者发现潜在的数据库性能瓶颈，并提供具体的代码修改指导。 与此同时，随着WebAssembly技术的发展，新一代前端性能分析工具如Speedscope、Flamebearer等也逐渐崭露头角，它们可以生成精细的调用栈火焰图，用于分析JavaScript或WebAssembly程序的运行时性能。这些可视化工具让开发者能更直观地了解程序执行过程中的时间消耗分布，从而找到性能优化的关键点。 此外，云服务商如AWS、Google Cloud Platform等也提供了丰富的服务端性能监控与诊断方案，例如AWS X-Ray和Google Stackdriver Profiler，它们能在分布式系统环境下实现对服务请求链路的全貌分析，帮助开发者从全局视角识别和优化性能瓶颈。 总之，在持续追求应用性能优化的过程中，掌握并适时更新各类性能分析工具和技术趋势至关重要，这不仅能提升现有项目的执行效率，也为未来开发高质量、高性能的应用奠定了坚实基础。

...，深度学习算法的优化问题就涉及到了高级的排列组合理论。例如，神经网络结构搜索（NAS）中，研究人员需要从众多可能的网络架构组合中寻找最优解，这就类似于五本书分给三个人的问题，只不过规模和复杂性大大提高。 另一方面，杨辉三角在计算机科学与编程实践中同样具有重要价值。它不仅被用于教学递归算法，还体现在诸多实际应用中，如二项式定理的快速计算、概率论和组合数学的相关问题解决等。最近，《Nature》杂志的一篇研究论文报道了一种利用杨辉三角优化量子电路的新方法，为量子计算领域的进步提供了新的思路。 此外，在数据分析和统计学中，杨辉三角也扮演着关键角色，比如在处理二项分布问题时，其每一项恰好对应了特定概率质量函数的系数。同时，排列组合在密码学、编码理论等领域也有广泛而深远的影响，如在设计加密算法时考虑所有可能的密钥组合以保证安全性。 总之，无论是排列组合还是杨辉三角，这些基础数学知识都在与时俱进，不断拓展新的应用边界，并在科技发展的前沿地带发挥着不可替代的作用。对于开发者和学习者来说，持续关注此类数学工具在新技术背景下的最新进展，无疑将有助于提升自身的算法设计与问题解决能力。

...x Automaton）解决字符串子串不同字串数量查询问题的基础上，我们可以进一步探索这一数据结构和技术在实际应用中的最新进展和案例。近日，在自然语言处理领域的一项研究中，科学家们巧妙地运用了改进版的后缀自动机算法，成功优化了大规模文本数据库的检索效率。 例如，Google研究人员于2023年发表的一篇论文详细介绍了他们如何借助后缀数组与后缀自动机的结合来提升搜索引擎对复杂、模糊查询语句的理解能力，从而更快找到相关文档并提高搜索结果的质量。通过预计算和存储文本索引，不仅使得大规模文本数据的实时查询成为可能，还大大降低了服务器端的计算压力。 此外，在生物信息学领域，DNA序列分析中也广泛采用了基于后缀自动机的方法。科研团队通过构建基因序列的后缀自动机模型，高效解决了比对、查找特定模式以及统计重复序列等问题，这对于疾病基因识别、遗传变异研究等具有重大意义。 综上所述，后缀自动机作为高效处理字符串问题的重要工具，在不断发展的计算机科学前沿，特别是在大数据处理、搜索引擎优化及生物信息学等领域展现出强大的生命力和广阔的应用前景，值得我们持续关注和深入研究。

...长公共前缀累加和这一问题之后，我们发现此类算法在文本处理、数据压缩以及生物信息学等领域具有广泛的应用价值。近期，在自然语言处理领域，Google于2023年发布的一项研究中，研究人员就巧妙运用了相似的动态规划策略优化了文档相似度计算模型，显著提升了搜索结果的相关性。 此外，针对大数据环境下对海量文本内容进行快速索引的需求，学术界也在不断探索基于LCP性质的新型索引结构。例如，一篇发表于《ACM Transactions on Information Systems》的论文中，作者提出了一种改进的后缀树变种，结合了LCP数组的信息以提高大规模文本检索的效率，这一研究成果为搜索引擎和其他依赖于文本匹配技术的产品提供了有力的技术支持。 而在生物信息学方面，DNA序列比对是基因组分析中的基础操作，其中也涉及到了类似最长公共前缀的问题。科学家们正在通过深入研究和发展高效的LCP算法，来解决基因组组装、物种进化关系推断等复杂问题，这些最新的科研进展对于理解生命的奥秘和推动精准医疗的发展至关重要。 总之，从理论到实践，从计算机科学到生命科学，对最长公共前缀性质及其高效计算方法的研究不仅丰富了算法设计的宝库，更在诸多现实场景下产生了深远影响，彰显出其跨学科的普适性和时代意义。

...大量数据时的性能瓶颈问题？ 当我们使用MyBatis作为持久层框架处理大数据量业务场景时，可能会遇到性能瓶颈。本文将深入探讨这一问题，并通过实例代码和策略性建议来揭示如何有效地优化MyBatis以应对大规模数据处理挑战。 1. MyBatis处理大数据时的常见性能瓶颈 在处理大量数据时，MyBatis可能面临的性能问题主要包括： - 数据库查询效率低下：一次性获取大量数据，可能导致SQL查询执行时间过长。 - 内存消耗过大：一次性加载大量数据到内存，可能导致Java Heap空间不足，甚至引发OOM（Out Of Memory）错误。 - 循环依赖与延迟加载陷阱：在实体类间存在复杂关联关系时，如果不合理配置懒加载，可能会触发N+1查询问题，严重降低系统性能。 2. 针对性优化策略及示例代码 2.1 SQL优化与分页查询 示例代码： java @Select("SELECT FROM large_table LIMIT {offset}, {limit}") List fetchLargeData(@Param("offset") int offset, @Param("limit") int limit); 在实际应用中，尽量避免一次性获取全部数据，而是采用分页查询的方式，通过LIMIT关键字实现数据的分批读取。例如，上述代码展示了一个分页查询的方法定义。 2.2 合理设置批量处理与流式查询 MyBatis 3.4.0及以上版本支持了ResultHandler接口以及useGeneratedKeys、fetchSize等属性，可以用来进行批量处理和流式查询，有效减少内存占用。 示例代码： java @Select("SELECT FROM large_table") @Results(id = "largeTableResult", value = { @Result(property = "id", column = "id") // 其他字段映射... }) void streamLargeData(ResultSetHandler handler); 在这个例子中，我们通过ResultSetHandler接口处理结果集，而非一次性加载到内存，这样就可以按需逐条处理数据，显著降低内存压力。 2.3 精细化配置懒加载与缓存策略 对于实体间的关联关系，应合理配置懒加载以避免N+1查询问题。另外，咱们也可以琢磨一下开启二级缓存这招，或者拉上像Redis这样的第三方缓存工具，这样一来，数据访问的速度就能噌噌噌地往上提了。 示例代码： xml 以上示例展示了如何在实体关联映射中启用懒加载，只有当真正访问LargeTable.detail属性时，才会执行对应的SQL查询。 3. 总结与思考 面对MyBatis处理大量数据时可能出现的性能瓶颈，我们应从SQL优化、分页查询、批量处理、懒加载策略等方面综合施策。同时呢，咱们得在实际操作中不断摸索、改进，针对不同的业务场景，灵活耍起各种技术手段，这样才能保证咱的系统在面对海量数据挑战时，能够轻松应对，游刃有余，就像一把磨得飞快的刀切豆腐一样。 在此过程中，我们需要保持敏锐的洞察力和持续优化的态度，理解并熟悉MyBatis的工作原理，才能逐步克服性能瓶颈，使我们的应用程序在海量数据面前展现出更强大的处理能力。同时，咱也得留意一下性能优化和代码可读性、维护性之间的微妙平衡，目标是追求那种既高效又易于理解和维护的最佳技术方案。