本文摘要：这篇文章详细介绍了在C++环境下如何实现有源汇上下界条件下的最大流算法，采用Dinic算法求解。首先构建网络流模型，通过`add()`函数添加具有容量和下界属性的边，并利用广度优先搜索（bfs）寻找增广路径。核心函数`find()`负责在路径上增加流值，而`dinic()`则循环调用上述函数以逐步达到最大流。代码中还处理了源点S、汇点T以及节点的流量上下界约束，旨在解决具体网络流问题时找到满足上下界限制的最大流或最小流。

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有汇源上下界最大流
有源汇上下界最大流最小流理解
题目
理解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=610,M=3e4,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,S,T;
int s,t;
int d[N];
int q[N],cur[N],h[N],ne[M],e[M],f[M],idx,A[N];void add(int a,int b,int c,int d)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=d-c,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++;
}bool bfs()
{memset(d,-1,sizeof(d));int hh=0,tt=0;q[hh]=S,cur[S]=h[S],d[S]=0;while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){int ver=e[i];if(d[ver]==-1&&f[i]){d[ver]=d[t]+1;cur[ver]=h[ver];if(ver==T) return true;q[++tt]=ver;}}}return false;
}int find(int u,int limit)
{if(u==T) return limit;int flow=0;for(int i=cur[u];~i&&flow<limit;i=ne[i]){cur[u]=i;int ver=e[i];if(d[ver]==d[u]+1&&f[i]){int t=find(ver,min(f[i],limit-flow));if(!t) d[ver]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;}}return flow;
}int dinic()
{int r=0;int flow;while(bfs()) while(flow=find(S,INF)) r+=flow;return r;
}int main()
{scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);S=0,T=n+1;memset(h,-1,sizeof(h));int tot=0;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c,d;scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);add(a,b,c,d);A[a]-=c,A[b]+=c;}for(int i=1;i<=n;i++){if(A[i]>0) add(S,i,0,A[i]),tot+=A[i];else if(A[i]<0) add(i,T,0,-A[i]);}add(t,s,0,INF);if(dinic()<tot){puts("No Solution");}else{int res=f[idx-1];S=s,T=t;f[idx-1]=f[idx-2]=0;printf("%d\n",res+dinic());}return 0;
}

有汇源上下界最小流
题目

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=5e6+10,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,S,T;
int s,t;
int d[N];
int q[N],cur[N],h[N],ne[M],e[M],f[M],idx,A[N];void add(int a,int b,int c,int d)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=d-c,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++;
}bool bfs()
{memset(d,-1,sizeof(d));int hh=0,tt=0;q[hh]=S,cur[S]=h[S],d[S]=0;while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){int ver=e[i];if(d[ver]==-1&&f[i]){d[ver]=d[t]+1;cur[ver]=h[ver];if(ver==T) return true;q[++tt]=ver;}}}return false;
}int find(int u,int limit)
{if(u==T) return limit;int flow=0;for(int i=cur[u];~i&&flow<limit;i=ne[i]){cur[u]=i;int ver=e[i];if(d[ver]==d[u]+1&&f[i]){int t=find(ver,min(f[i],limit-flow));if(!t) d[ver]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;}}return flow;
}int dinic()
{int r=0;int flow;while(bfs()) while(flow=find(S,INF)) r+=flow;return r;
}int main()
{scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);S=0,T=n+1;memset(h,-1,sizeof(h));int tot=0;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c,d;scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);add(a,b,c,d);A[a]-=c,A[b]+=c;}for(int i=1;i<=n;i++){if(A[i]>0) add(S,i,0,A[i]),tot+=A[i];else if(A[i]<0) add(i,T,0,-A[i]);}add(t,s,0,INF);if(dinic()<tot){puts("No Solution");}else{int res=f[idx-1];S=t,T=s;f[idx-1]=f[idx-2]=0;printf("%d\n",res-dinic());}return 0;
}

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名词解释

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有源汇上下界最大流：在图论和网络流问题中，有源汇上下界最大流是指在网络中存在一个源点（S）和一个汇点（T），每条边都有一个容量上限（即最大流量限制）以及一个下限（即最小流量需求或残留流量限制）。求解该问题的目标是在满足所有边的上下界约束条件下，找到从源点到汇点的最大流量。这个问题相较于传统的最大流问题更为复杂，因为它不仅要求流量尽可能大，还必须保证各条边的流量满足预设的最小值。

Dinic算法：Dinic算法是一种用于解决网络流问题中的最大流问题的高效算法，由俄罗斯计算机科学家尤里·季林提出。该算法基于层次搜索思想，通过不断寻找并扩充增广路径来逐步增加网络中的流值，直到无法找到新的增广路径为止。在处理稀疏图时，其时间复杂度为O(V^2E)，其中V代表顶点数量，E代表边的数量。文章中的代码片段正是基于Dinic算法实现的有源汇上下界最大流求解过程。

网络流残余网络：在网络流理论中，残余网络是对原网络进行某种操作后得到的新网络，它反映了在当前流状态下，网络中可以进一步传输流量的能力。具体来说，在已知某个流方案的基础上，将每条正向边的剩余可传送流量以及反向边已经传送的流量作为新网络中对应边的容量，从而构建出残余网络。在求解有源汇上下界最大流问题时，需要不断地更新并分析残余网络，以寻找下一个增广路径并调整流值。