本文摘要：该编程题要求计算3的幂次之和，并对1000000007取模，涉及关键词“3的幂的和”与“模运算”。解决方案将问题转化为等比数列求和，并采用C++实现快速模幂算法及逆元技巧。在限定输入范围（0 <= N <= 10^9）内，通过公式转换和高效算法设计，程序准确计算出3^0至3^N的和并对MOD值取模的结果。

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本篇文章为转载内容。原文链接：https://tigerisland.blog.csdn.net/article/details/72832637。

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1013 3的幂的和

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

求：3^0 + 3^1 +...+ 3^(N) mod 1000000007

Input

输入一个数N(0 <= N <= 10^9)

Output

输出：计算结果

Input示例

Output示例

问题链接：1013 3的幂的和

问题分析：先将问题转换为等比数列求和，再用快速模幂计算，还需要用一下逆元。

程序说明：（略）

题记：（略）

参考链接：（略）

AC的C++程序如下：

#include <iostream>using namespace std;const int MOD = 1000000007;
const int Q = 3;long long inv(long long a)
{return (a == 1) ? 1 : inv(MOD % a) * (MOD - MOD / a) % MOD;
}// 快速模幂计算函数
int powermod(long long a, int n, int m)
{long long res = 1;while(n) {if(n & 1) {        // n % 2 == 1res *= a;res %= m;}a *= a;a %= m;n >>= 1;}return res;
}int main()
{int n;// 等比数列和：Sn=a0*(q^(n+1) - 1)/(q - 1)=(q^(n+1) - 1)/(q - 1)// 使用快速模幂运算后，需要求一下逆元，再进行计算while(cin >> n)cout << (powermod(Q, n + 1, MOD) - 1) * inv((Q - 1)) % MOD << endl;return 0;
}

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名词解释

作为当前文章的名词解释，仅对当前文章有效。

快速模幂计算：快速模幂计算是一种用于高效求解大整数指数运算（a^n mod m）的算法。在本文章的上下文中，当需要计算3的幂次之和并对一个较大数（如1000000007）取模时，直接进行普通幂运算会非常耗时且可能超出计算机的数据存储范围。快速模幂算法利用分治思想，将指数n不断二分，并结合模运算的性质（(a*b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m），通过递归或循环实现指数运算的同时进行模运算，从而大大提高了计算速度和效率。

逆元：在数论中，对于给定的一个整数a和一个素数m（或更一般地，任何一个具有单位元的环），如果存在另一个整数b满足a * b ≡ 1 (mod m)，那么b就被称为a在模m下的逆元。在解决“3的幂的和”问题时，我们需要对等比数列求和公式的结果除以(Q-1)，但直接做除法会遇到模运算下除法的限制。因此，我们采用逆元的概念，预先计算出(Q-1)的逆元inv((Q-1))，然后与原式相乘即可得到正确结果，同时保持在模m意义下的等价性。

等比数列求和：等比数列是指一个数列，其中任意相邻两项之比恒等于同一个常数q（公比）。其前n项和（Sn）可以通过公式 Sn = a0 * (1 - q^n) / (1 - q) 或 Sn = a1 * (q^(n+1) - 1) / (q - 1) 进行计算，其中a0是首项，a1是第二项（若公比不为1）。在本文所讨论的问题中，将3的幂次之和视为首项为1、公比为3的等比数列，通过应用该求和公式并结合快速模幂计算和逆元的知识来高效求解最终结果。